Question

已知抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的通径长为4，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过抛物线C₂的焦点．
（1）求抛物线C₂和椭圆C₁的方程；
（2）过定点M（-1，

3

2

）引直线l交抛物线C₂于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C₂的切线l₁，l₂，且l₁与椭圆C₁相交于P，Q两点．记此时两切线l₁，l₂的交点为点C．
①求点C的轨迹方程；
②设点D（0，

1

4

），求△DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的通径长为4，得p=2，由此能求出抛物线C₂的方程．由题意C₂焦点坐标为（0，1），e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

2

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）①设直线l：y=kx+（k+

3

2

）．联立

y=kx+(k+ 3 2 ) x2=4y

，得x²-4kx-4k-6=0．由已知条件求出l₁：y=

s

2

x-

s2

4

，l₂：y=

t

2

x-

t2

4

，由此能求出点C的轨迹方程．
②设l₁：y=kx+b，代入C1：

x2

4

+y2=1，得：（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，由此利用韦达定理和根的判别式结合已和条件能求出△DPQ的面积的最大值和此时点C的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的通径长为4，
∴2p=4，解得p=2，
∴抛物线C₂的方程为x²=4y．
由题意C₂焦点坐标为（0，1），
∴b=1，∵离心率为

3

2

，∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

2

，解得a=2，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①设直线l的斜率为k，则直线l：y-

3

2

=k（x+1），即y=kx+（k+

3

2

）．
联立

y=kx+(k+ 3 2 ) x2=4y

，得x²-4kx-4k-6=0．
设A（s，

s2

4

），B（t，

t2

4

），s＜t，则s+t=4k，st=-4k-6，
抛物线y=

x2

4

，y′=

x

2

，
则l₁：y-

s2

4

=

s

2

（x-s），即l₁：y=

s

2

x-

s2

4

，同理l₂：y=

t

2

x-

t2

4

，
由

y= s 2 x- s2 4 y= t 2 x- t2 4

，得x=

s+t

2

=2k，y=

s

2

x-

s2

4

=

s

2

•

s+t

2

-

s2

4

=

st

4

=-k-

3

2

，
∴x+2y+3=0．
∵l₁与椭圆C₁相交于P，Q两点，
由

y= s 2 x- s2 4 x2 4 +y2=1

，得(s2+1)x2-s3x+

s4

4

-4=0，
∵l₁与椭圆C₁相交于P，Q两点，∴△=（-s³）²-4（s²+1）（

s4

4

-4）＞0，
解得0≤s2＜8+4

5

．
由

y=- 8+4 5 2 x-2- 5 x+2y+3=0

，得x=

1+2 5

1- 8+4 5

．
∴点C的轨迹方程为x+2y+3=0（x＞

1+2 5

1- 8+4 5

）．
②设l₁：y=kx+b，代入C1：

x2

4

+y2=1，得：（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8kb

1+4k2

，x1x2=

4b2-4

1+4k2

，△1＞0．
设l₁与y轴交于点E，则S△DPQ=S△EPD-S△EDQ=

1

2

|ED|(|x1|-|x2|)
=

1

2

(

1

4

-b)|x1-x2|
=

1

2

(

1

4

-b)

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

(

1

4

-b)

4k2-b2+1

1+4k2

…（*）
由l₁：y=kx+b与抛物线C2：x2=4y相切，得：x²-4kx-4b=0，
∴△=16k²+16b=0，
∴k²=-b，代入（*）得：S_△DPQ=

1

2

-b2-4b+1

=

1

2

-(b+2)2+5

∴b=-2时，△₁＞0成立，△DPQ的面积的最大值为

5

2

．
此时直线l1：y=-

2

x-2，
由

y=- 2 x-2 x+2y+3=0

，得x=-

1+2 2

7

，y=-

10- 2

7

．
∴此时点C(-

1+2 2

7

，-

10- 2

7

)．

点评：本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意直线和圆锥曲线的位置关系的灵活运用．