Question

设命题p：方程

x2

a

+

y2

a-1

=1表示双曲线，命题q：函数f（x）=x²+（2a-3）x+1有两个不同的零点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：若命题p为真，利用双曲线的标准方程可得a（a-1）＜0，解得a的范围．若命题q为真，则△＞0，解得a范围．由“p∨q”为真，“p∧q”为假，
可得p与q有且只有一个为真．

解答： 解：若命题p为真，则a（a-1）＜0，解得0＜a＜1．
若命题q为真，则△=（2a-3）²-4＞0，解得a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，
∴p与q有且只有一个为真． 
（1）若p真q假，则

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，解得

1

2

≤a＜1．
（2）若p假q真，则

a≤0或a≥1 a＜ 1 2 或a＞ 5 2

，解得a≤0或a＞

5

2

．
综上所述，a的取值范围是（-∞，0]∪[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)．

点评：本题考查了双曲线的标准方程、一元二次方程由实数根与判别式的关系、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．