Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到双曲线 =1的渐近线的距离为1，过焦点F且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若 ，则k= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（ ，0），
且F到双曲线 =1的渐近线y=± x的距离为1，
即渐近线的方程为 x﹣3y=0，
∴d= =1，
解得p=4；即焦点坐标F（2，0），
∴过焦点F斜率为k的直线为y=k（x﹣2），
与抛物线C：y2=8x联立，消去x，得y2=8（ +2），
整理，得ky2﹣8y﹣16k=0，
解得y= ．
又∵ ，
∴（4﹣xA ， ﹣yA）=2（xB﹣4，yB），
∴yA=﹣2yB；
当k＞0时，yA＞0，yB＜0，
∴ =2（﹣ ），
解得k=2 ；
当k＜0时，yA＜0，yB＞0，
∴﹣ =2 ，
解得k=﹣2 ；
∴k= ．
所以答案是： ．