Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos 2α，sin α），向量$\overrightarrow{b}$=（1，2sin α-1），α∈（$\frac{π}{2}$，π），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{5}$．
（1）求sin α的值
（2）求$\frac{5\sqrt{2}sin2α-4cos（α+\frac{π}{4}）}{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出向量的数量积，利用倍角公式化简后求值；
（2）利用（1）的结论，分别求出sin2α，cos（α+$\frac{π}{4}$）和2cos²$\frac{α}{2}$的值，代入计算．

解答 解：（1）由已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{5}$=cos 2α+sin α（2sin α-1）=2cos²α-1+2sin²α-sin α=1-sin α，
所以sin α=$\frac{3}{5}$…（6分）
（2）因为α∈（$\frac{π}{2}$，π），所以cos α=-$\frac{4}{5}$．
所以sin2α=-$\frac{24}{25}$，2cos²$\frac{α}{2}$=1+cosα=$\frac{1}{5}$
cos（α+$\frac{π}{4}$）=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$…（8分）
所以$\frac{5\sqrt{2}sin2α-4cos（α+\frac{π}{4}）}{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}×（-\frac{24}{25}）+4×\frac{7\sqrt{2}}{10}}{\frac{1}{5}}$=-10$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及三角函数式的化简求值，用到了倍角公式、两角和与差的三角函数公式．