Question

若单位向量

a

，

b

的夹角为钝角，|

b

-t

a

|（t∈R）最小值为

3

2

，且（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，则

c

•（

a

+

b

）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，当t≥0时，由于单位向量

a

，

b

的夹角为钝角，可得|

b

-t

a

|≥|

b

|=1＞

3

2

．当t＜0时．设

a

=（1，0），

b

=（cosθ，sinθ）(θ∈(

π

2

，π))．利用|

b

-t

a

|≥

3

2

，可得cosθ≥

4t2+1

8t

，对于t＜0恒成立．利用基本不等式可得

4t2+1

8t

≤-

1

2

．因此cosθ≥-

1

2

，又θ为钝角，可得当且仅当θ=

2π

3

取等号，于是θ=

2π

3

．设

c

=（x，y），利用（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，可得(x-

1

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．即圆心M(

1

4

，

3

4

)，半径r=

3

2

．可得

c

•（

a

+

b

）≤|

c

|•|

a

+

b

|=

x2+y2

≤|OM|+r即可得出．

解答： 解：如图所示，
当t≥0时，∵单位向量

a

，

b

的夹角为钝角，∴|

b

-t

a

|≥|

b

|=1＞

3

2

．
当t＜0时．
设

a

=（1，0），

b

=（cosθ，sinθ）(θ∈(

π

2

，π))．
则|

b

-t

a

|=

b 2+t2 a 2-2t a • b

=

1+t2-2tcosθ

≥

3

2

，
化为cosθ≥

4t2+1

8t

，对于t＜0恒成立．
∵

4t2+1

8t

=-

1

2

(-t+

1

-4t

)≤-

1

2

×2

-t• 1 -4t

=-

1

2

．
∴cosθ≥-

1

2

，
又θ为钝角，∴当且仅当θ=

2π

3

取等号．
即只有当θ=

2π

3

时对于?t∈R，|

b

-t

a

|（t∈R）最小值为

3

2

．
因此θ=

2π

3

．
∴

b

=(cos

2π

3

，sin

2π

3

)=(-

1

2

，

3

2

)．
设

c

=（x，y），
∵（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
∴（x-1，y）•(x+

1

2

，y-

3

2

)=(x-1)(x+

1

2

)+y(y-

3

2

)=0，
化为(x-

1

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．
则圆心M(

1

4

，

3

4

)，半径r=

3

2

．
∴|OM|=

( 1 4 )2+( 3 4 )2

=

1

2

＜

3

2

，
则

c

•（

a

+

b

）≤|

c

|•|

a

+

b

|=

x2+y2

•|(

1

2

，

3

2

)|=

x2+y2

≤|OM|+r=

1

2

+

3

2

=

3 +1

2

．
故答案为：

3 +1

2

．

点评：本题考查了恒成立问题的等价转化方法、向量的坐标运算及其数量积的性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了数形结合的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．