Question

【题目】已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，
（1）计算a1、a3、a4 ， 请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设bn=an+n（n∈N*），求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=1，且a2=6

当n=2时，a3=3（a2﹣1）=15，

当n=3时，2a4=4（a3﹣1），∴a4=28，

猜测

下面用数学归纳法证明：

ⅰ当n=1，2，3，4时，等式 已成立

ⅱ假设当n=k时，

则由（k﹣1）ak+1=（k+1）（ak﹣1），有： =2k2+3k+1=2（k+1）2﹣（k+1）

即n=k+1时，等式也成立

综上， 成立

（2）解：bn=an+n=2n2

∴bn﹣2=2（n﹣1）（n+1）

∴ = （ ）

∴ =

= =

【解析】（1）计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可求得结论．
【考点精析】利用数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．