Question

10．平面向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{8}}$都为单位向量，且满足$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$=0（i=1，2，3，…，7），|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{8}}$|的所有可能的不同值共有（　　）个．

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 根据条件$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{a}_{i+1}}=0$即可得到$\overrightarrow{{a}_{i}}⊥\overrightarrow{{a}_{i+1}}$，所以便可得到$\overrightarrow{{a}_{1}}=±\overrightarrow{{a}_{3}}=±\overrightarrow{{a}_{5}}=±\overrightarrow{{a}_{7}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}=±\overrightarrow{{a}_{4}}=±\overrightarrow{{a}_{6}}=±\overrightarrow{{a}_{8}}$．然后可求出$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{3}}+\overrightarrow{{a}_{5}}+\overrightarrow{{a}_{7}}$的可能结果$4\overrightarrow{{a}_{1}}，\overrightarrow{0}，2\overrightarrow{{a}_{1}}，-2\overrightarrow{{a}_{1}}$，同样的得出$\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{{a}_{4}}+\overrightarrow{{a}_{6}}+\overrightarrow{{a}_{8}}$的可能结果为$4\overrightarrow{{a}_{2}}，\overrightarrow{0}，2\overrightarrow{{a}_{2}}，-2\overrightarrow{{a}_{2}}$，所以可写出$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{8}}$的可能结果，然后根据$\overrightarrow{{a}_{1}}⊥\overrightarrow{{a}_{2}}$，$|\overrightarrow{{a}_{1}}|=|\overrightarrow{{a}_{2}}|=1$即可求出|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{8}}$|的所有可能取值，从而得出答案．

解答 解：根据已知条件知：
$\overrightarrow{{a}_{1}}⊥\overrightarrow{{a}_{2}}，\overrightarrow{{a}_{2}}⊥\overrightarrow{{a}_{3}}，\overrightarrow{{a}_{3}}⊥\overrightarrow{{a}_{4}}$，$\overrightarrow{{a}_{4}}⊥\overrightarrow{{a}_{5}}$，$\overrightarrow{{a}_{5}}⊥\overrightarrow{{a}_{6}}，\overrightarrow{{a}_{6}}⊥\overrightarrow{{a}_{7}}，\overrightarrow{{a}_{7}}⊥\overrightarrow{{a}_{8}}$；
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}=±\overrightarrow{{a}_{3}}=±\overrightarrow{{a}_{5}}=±\overrightarrow{{a}_{7}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}=±\overrightarrow{{a}_{4}}=±\overrightarrow{{a}_{6}}=±\overrightarrow{{a}_{8}}$；
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{3}}+\overrightarrow{{a}_{5}}+\overrightarrow{{a}_{7}}$的可能结果为：4$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{0}$，$2\overrightarrow{{a}_{1}}$，$-2\overrightarrow{{a}_{1}}$；
同样$\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{{a}_{4}}+\overrightarrow{{a}_{6}}+\overrightarrow{{a}_{8}}$的可能结果是：$4\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{0}$，$2\overrightarrow{{a}_{2}}，-2\overrightarrow{{a}_{2}}$；
$\overrightarrow{{a}_{1}}⊥\overrightarrow{{a}_{2}}$，则$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{{a}_{3}}+…+\overrightarrow{{a}_{8}}$的可能情况为：$4（\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}）$，$4\overrightarrow{{a}_{1}}$，$4\overrightarrow{{a}_{1}}+2\overrightarrow{{a}_{2}}$，$4\overrightarrow{{a}_{1}}-2\overrightarrow{{a}_{2}}，4\overrightarrow{{a}_{2}}，\overrightarrow{0}，2\overrightarrow{{a}_{2}}，-2\overrightarrow{{a}_{2}}$，$2\overrightarrow{{a}_{1}}+4\overrightarrow{{a}_{2}}，2\overrightarrow{{a}_{1}}，2\overrightarrow{{a}_{1}}+2\overrightarrow{{a}_{2}}$，2$\overrightarrow{{a}_{1}}-2\overrightarrow{{a}_{2}}$，$-\overrightarrow{2{a}_{1}}+4\overrightarrow{{a}_{2}}，-2\overrightarrow{{a}_{1}}，-2\overrightarrow{{a}_{1}}+2\overrightarrow{{a}_{2}}$，$-2\overrightarrow{{a}_{1}}-2\overrightarrow{{a}_{2}}$；
∴这几向量和的长度可能为：$4\sqrt{2}$，4，2$\sqrt{5}$，0，2$\sqrt{2}$，2；
∴|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{8}}$|的所有可能的不同值共有6个．
故选B．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，同时垂直于一个向量的两向量的关系：共线，单位向量的概念，向量的加法运算，向量加法、减法的几何意义，结合图形求向量长度．