【题目】已知函数f(x)=1+ .
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(3)求f(x)的值域.
【答案】
(1)解:由2x﹣1≠0,可得x≠0,
∴函数的定义域为{x|x≠0}.
(2)解:奇函数
证明:f(﹣x)=1+ =
=﹣1﹣
=﹣f(x).
∴f(x)是奇函数;
(3)解:x>0时,f(x)>1,
∴值域为(﹣∞,1)∪(1,+∞)
【解析】(1)利用分母不为0,求f(x)的定义域;(2)利用函数奇偶性的定义,判断、证明f(x)的奇偶性;(3)x>0时,f(x)>1,即可求f(x)的值域.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的),还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】已知幂函数f(x)=(﹣2m2+m+2)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)﹣2(a﹣1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
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【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=2,直线CA与平面ABD所成角的正弦值为,求二面角E-AD-C的余弦值.
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【题目】已知椭圆与抛物线
共焦点
,抛物线上的点M到y轴的距离等于
,且椭圆与抛物线的交点Q满足
.
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(II)过抛物线上的点作抛物线的切线
交椭圆于
、
两点,设线段AB的中点为
,求
的取值范围.
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【题目】已知,
表示两条不同的直线,
,
,
表示三个不同的平面,给出下列四个命题:
①,
,
,则
;
②,
,
,则
;
③,
,
,则
;
④,
,
,则
其中正确命题的序号为( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
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【题目】函数y=x2﹣2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( )
A.{y|﹣1≤y≤3}
B.{y|0≤y≤3}
C.{0,1,2,3}
D.{﹣1,0,3}
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