Question

【题目】已知函数f（x）=2x﹣ ，且f（ ）=3．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x﹣ ，且f（ ）=3，

∴f（ ）=1﹣2a=3，解得：a=﹣1

（2）解：由（1）得：f（x）=2x+ ，f（x）在（1，+∞）递增，

证明如下：

设x1＞x2＞1，

则f（x1）﹣f（x2）=2x1+ ﹣2x2﹣ =（x1﹣x2）（ ），

∵x1＞x2＞1，

∴x1﹣x2＞0，2x1x2﹣1＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（1，+∞）递增

【解析】（1）根据f（ ）=3，得到关于a的方程，解出即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的值，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能得出正确答案．