Question

13．在等差数列{a_n}中，S_n为数列{a_n}的前n项和，d为数列{a_n}的公差，若对任意n∈N^*，都有S_n＞0，且a₂a₄=9，则d的取值范围为$[0，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 对任意n∈N^*，都有S_n＞0，可得：a₁＞0，d≥0．由于a₂a₄=9，化为3d²+4a₁d+${a}_{1}^{2}$-9=0，△＞0，而且两根之和=-4d＜0，而必须至少有一个正实数根．可得3d²-9≤0，d≥0，解出即可得出．

解答 解：对任意n∈N^*，都有S_n＞0，∴a₁＞0，d≥0．
∵a₂a₄=9，
∴（a₁+d）（a₁+3d）=9，
化为${a}_{1}^{2}$+4a₁d+3d²-9=0，
△=16d²-4（3d²-9）=4d²+36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
并且两根之和为-4d＜0，而必须至少有一个正实数根．
d=$\sqrt{3}$时，a₁=0，舍去．
则d的取值范围为$[0，\sqrt{3}）$．
故答案为：$[0，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．