Question

18．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c²=b²-a²，若△ABC最大边长是$\sqrt{7}$且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为1．

Answer 1

分析 根据余弦定理求出cosB=-$\frac{1}{2}$，故b=$\sqrt{7}$，由sinC=2sinA得c=2a，代入余弦定理计算a．

解答 解：∵ac+c²=b²-a²，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$，∴b=$\sqrt{7}$．
∵sinC=2sinA，∴c=2a，
∴三角形的最短边为a．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-7}{4{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，解得a=1．
故答案为1．

点评 本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题．