Question

已知f（x）=1+2^x+2•4^x，若f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：设t=2^x，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的最值性质即可得到结论．

解答： 解：设t=2^x，则t＞0，
则函数f（x）等价为g（t）=1+t+2t²=2（t+

1

4

）²+

7

8

，
函数的对称轴t=-

1

4

，
∵t＞0，
∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（0）=1，
即函数f（x）＞1，
若f（x）＞a恒成立，则a≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用换元法结合指数函数的图象和性质，转化为一元二次函数是解决本题的关键．