Question

12．已知函数f（x）满足：①x∈R；②当x₁＜x₂时，f（x₁）≤f（x₂）．
（1）若f（x）=ax³+1，求a的范围；
（2）若f（x）是周期函数，求证：f（x）是常值函数；
（3）若g（x）是x∈R上的周期函数，且g（x）＞0，且g（x）最大值为M，h（x）=g（x）•f（x），求证：h（x）是周期函数的充要条件是f（x）是常值函数．

Answer 1

分析 （1）直接由f（x₁）-f（x₂）≤0求得a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T_k，任取x₀∈R，则有f（x₀）=f（x₀+T_k），证明对任意x∈[x₀，x₀+T_k]，f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+T_k），可得f（x₀）=f（x₀+nT_k），n∈Z，再由…∪[x₀-3T_k，x₀-2T_k]∪[x₀-2T_k，x₀-T_k]∪[x₀-T_k，x₀]∪[x₀，x₀+T_k]∪[x₀+T_k，x₀+2T_k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x₀）=C，为常数；
（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；必要性先证明f（x）符号不变，然后分类证明．

解答 （1）解：由f（x₁）≤f（x₂），得f（x₁）-f（x₂）=$a（{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}）≤0$，
∵x₁＜x₂，∴${{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}$＜0，得a≥0．
故a的范围是[0，+∞）；
（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T_k，任取x₀∈R，则有
f（x₀）=f（x₀+T_k），
由题意，对任意x∈[x₀，x₀+T_k]，f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+T_k），
∴f（x₀）=f（x）=f（x₀+T_k）．
又∵f（x₀）=f（x₀+nT_k），n∈Z，并且
…∪[x₀-3T_k，x₀-2T_k]∪[x₀-2T_k，x₀-T_k]∪[x₀-T_k，x₀]∪[x₀，x₀+T_k]∪[x₀+T_k，x₀+2T_k]∪…=R，
∴对任意x∈R，f（x）=f（x₀）=C，为常数；
（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c₁，设g（x）的一个周期为T_g，则
h（x）=c₁•g（x），则对任意x₀∈R，
h（x₀+T_g）=c₁•g（x₀+T_g）=c₁•g（x₀）=h（x₀），
故h（x）是周期函数；
必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T_h，首先证明f（x）符号不变．
①设集合A={x|g（x）=m}，若存在x₀∈R，使得f（x₀）=0，则
h（x₀）=0，且对任意k∈Z，有h（x₀+kT_h）=0，
∵g（x）＞0，∴f（x₀+kT_h）=0，即对任意x∈[x₀+kT_h，x₀+（k+1）T_h]，k∈Z，f（x）=0恒成立，
∴f（x）=0是常值函数；
②若存在x₁，x₂，使得f（x₁）＞0，且f（x₂）＜0，则由题意可知，
x₁＞x₂，那么必然存在正整数N₁，使得x₂+N₁T_k＞x₁，
∴f（x₂+N₁T_k）＞f（x₁）＞0，且h（x₂+N₁T_k）=h（x₂）．
又h（x₂）=g（x₂）f（x₂）＜0，而
h（x₂+N₁T_k）=g（x₂+N₁T_k）f（x₂+N₁T_k）＞0≠h（x₂），矛盾．
综上，f（x）=0或f（x）＞0或f（x）＜0恒成立．
1°、若f（x）＞0恒成立，
任取x₀∈A，则必存在N₂∈N，使得x₀-N₂T_h≤x₀-T_g，
即[x₀-T_g，x₀]⊆[x₀-N₂T_h，x₀]，
∵…∪[x₀-3T_k，x₀-2T_k]∪[x₀-2T_k，x₀-T_k]∪[x₀-T_k，x₀]∪[x₀，x₀+T_k]∪[x₀+T_k，x₀+2T_k]∪…=R，
∴…∪[x₀-2N₂T_h，x₀-N₂T_h]∪[x₀-N₂T_h，x₀]∪[x₀，x₀+N₂T_h]∪[x₀+N₂T_h，x₀+2N₂T_h]∪…=R．
h（x₀）=g（x₀）•f（x₀）=h（x₀-N₂T_h）=g（x₀-N₂T_h）•f（x₀-N₂T_h），
∵g（x₀）=M≥g（x₀-N₂T_h）＞0，f（x₀）≥f（x₀-N₂T_h）＞0．
因此若h（x₀）=h（x₀-N₂T_h），必有g（x₀）=M=g（x₀-N₂T_h），且f（x₀）=f（x₀-N₂T_h）=c．
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x₀）=C，为常数．
2°、若f（x）＜0恒成立，
任取x₀∈A，则必存在N₃∈N，使得x₀+N₃T_h≥x₀+T_g．
即[x₀，x₀+T_g]⊆[x₀，x₀+N₃T_g]，
∵…∪[x₀-3T_k，x₀-2T_k]∪[x₀-2T_k，x₀-T_k]∪[x₀-T_k，x₀]∪[x₀，x₀+T_k]∪[x₀+T_k，x₀+2T_k]∪…=R，
∴…∪[x₀-2N₃T_h，x₀-N₃T_h]∪[x₀-N₃T_h，x₀]∪[x₀，x₀+N₃T_h]∪[x₀+N₃T_h，x₀+2N₃T_h]∪…=R．
h（x₀）=g（x₀）•f（x₀）=h（x₀+N₃T_h）=g（x₀+N₃T_h）•f（x₀+N₃T_h）．
∵g（x₀）=M≥g（x₀+N₃T_h）＞0，f（x₀）≤f（x₀+N₃T_h）＜0．
因此若h（x₀）=h（x₀+N₃T_h），
必有g（x₀）=M=g（x₀+N₃T_h），且f（x₀）=f（x₀+N₃T_h）=c，
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x₀）=C，为常数．
综上，必要性得证．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．