Question

2．设函数f（x）=e^x+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知f（t）=g（t），令h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，等价于ϕ（x）≥0恒成立，求出其导函数，可求出φ（x）的单调性，进而可求得a的取值范围．

解答 解：（1）因为F（x）=e^x+sinx-ax，所以F'（x）=e^x+cosx-a，
因为x=0是F（x）的极值点，所以F'（0）=1+1-a=0，a=2．
又当a=2时，若x＜0，F'（x）=e^x+cosx-a＜1+1-2=0，
所以F'（x）在（0，+∞）上为增函数，所以F'（x）＞F'（0）=1+1-2=0，所以x=0是F（x）的极小值点，
所以a=2符合题意，所以|PQ|=e^t+sint-2t．令h（x）=e^x+sinx-2x，即h'（x）=e^x+cosx-2，
因为h''（x）=e^x-sinx，当x＞0时，e^x＞1，-1≤sinx≤1，
所以h''（x）=e^x-sinx＞0，所以h'（x）=e^x+cosx-2在（0，+∞）上递增，
所以h'（x）=e^x+cosx-2＞h'（0）=0，∴x∈[0，+∞）时，h（x）的最小值为h（0）=1，所以|PQ|_min=1．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，
则ϕ'（x）=e^x-e^-x+2cosx-2a，S（x）=ϕ''（x）=e^x-e^-x-2sinx，
因为S'（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立，所以函数S（x）在[0，+∞）上单调递增，∴S（x）≥S（0）=0当x∈[0，+∞）时恒成立；
故函数ϕ'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以ϕ'（x）≥ϕ'（0）=4-2a在x∈[0，+∞）时恒成立．
当a≤2时，ϕ'（x）≥0，ϕ（x）在[0，+∞）单调递增，即ϕ（x）≥ϕ（0）=0．
故a≤2时F（x）≥F（-x）恒成立．
当a＞2时，因为ϕ'（x）在[0，+∞）单调递增，
所以总存在x₀∈（0，+∞），使ϕ（x）在区间[0，x₀）上ϕ'（x）＜0，即ϕ（x）在区间[0，x₀）上单调递减，而ϕ（0）=0，
所以当x∈[0，x₀）时，ϕ（x）＜0，这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾，
所以a＞2不符合题意，故符合条件的a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．