Question

已知函数f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取得极值-

2

3

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上任意两点，且x₁，x₂∈[-1，1]．求证：过A点的切线不可能与过B点的切线垂直；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，且|f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，求证：λ∈[0，1]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，得到函数为奇函数，所以f（-x）=-（x），当x=1时，f（x）取得极值-

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3

，所以f′（1）=0，f（1）=-

2

3

，由这三个等式可解出a，b，c的值．
（Ⅱ）用反证法证明．先假设假设过A点的切线与过B点的切线垂直，根据两直线垂直，斜率之际等于-1，得到关于x₁，x₂的等式，再根据x₁，x₂的取值范围证明所得的等式不成立即可．
（Ⅲ）因为|f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，∴λ=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

再根据x₁，x₂的范围求

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-4bx+c，
∵函数f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，
∴f（-x）=-ax³-2bx^2-cx=f（x），∴b=0
∵当x=1时，f（x）取得极值-

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．∴f′（1）=3a-4b+c=0，
f（1）=a-2b+c=-

2

3

∴a=

1

3

，b=0，c=-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

1

3

x³-x，f′（x）=x²-1
证明：假设过A点的切线与过B点的切线垂直．
则f'（x₁）•f'（x₂）=-1
∴（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
∵x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
∴（x₁²-1）（x₂²-1）∈[0，1]，
∴假设不成立．
∴过A点的切线不可能与过B点的切线垂直．
（Ⅲ）∵|f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，∴λ=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=

|( 1 3 x13-x 1)-( 1 3 x23-x2)|

|x1-x2|

=|

1

3

(x12+x1x2+x22)-1|=|

1

3

(x1+x2)2+

1

4

x22-1|
∵|x₁，x₂∈[-1，1]，∴

1

3

（x₁+x₂）²∈[0，

3

4

]

1

4

x₁x₂∈[0，

1

4

]，∴|

1

3

(x1+x2)2+

1

4

x22-1|∈[0，1]
 即 λ∈[0，1]．

点评：本题主要考察了导数的几何意义，应用导数求函数的极值及函数的值域的方法．解题时要学会运用反证法证明命题，熟练掌握转化化归的思想方法．