Question

已知定义在R上的函数y=f（x）存在零点，且对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．若关于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：令函数y=f（x）的零点为m，即f（m）=0，则由对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．可得f[f（x）]=x，进而x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．

解答： 解：令函数y=f（x）的零点为m，即f（m）=0，
∵对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．
则f[f（n）]=n恒成立，
即f[f（x）]=x，
若关于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，
即|x-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，
当0＜a＜1时，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象如下图所示：

由图可知，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；
当1＜a＜3时，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象如下图所示：

由图可知，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象有一个交点，即关于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有一个不同的根，不满足条件；
当a=3时，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象如下图所示：

由图可知，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；
当a＞3时，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象如下图所示：

由图可知，函数y=|x-3|与y=1-log_ax的图象有三个交点，即关于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，满足条件；
综上所述，实数a的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数零点的判定，其中根据已知确定出f[f（x）]=x，是解答的关键．