Question

11．已知函数h（x）=x³-x+6lnx图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m，则实数m的范围为（-∞，8）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导数的几何意义结合已知得到3x²-1+$\frac{6}{x}$≥m，然后利用基本不等式求最值，从而得到m的范围．

解答 解：由h（x）=x³-x+6lnx，得h′（x）=3x²-1+$\frac{6}{x}$（x＞0），
∵h（x）=x³-x+6lnx图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m，
由导数的几何意义得3x²-1+$\frac{6}{x}$＞m，
∵3x²+$\frac{3}{x}$+$\frac{3}{x}$≥3$\root{3}{3{x}^{2}•\frac{3}{x}•\frac{3}{x}}$=9，当且仅当x=1时取等号，
∴m＜9-1=8，
∴实数m的取值范围是（-∞，8）．
故答案为：（-∞，8）．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了导数的几何意义，以及基本不等式，是中档题．