Question

1．已知函数f（x）=aln（x+1）+bx+1
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-3=0平行，求a的值；
（2）若$b=\frac{1}{2}$，试讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f（x）=aln（x+1）+bx+1，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（0）=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=2\end{array}\right.$
（2）$f（x）=aln（x+1）+\frac{1}{2}x+1$，
f′（x）=$\frac{x+2a+1}{2（x+1）}$，
令f′（x）=0    则x=-2a-1，
-2a-1≤-1即a≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-1，+∞）递增，
-2a-1＞-1即a＜0时：
令f′（x）＜0，解得：x∈（-1，-2a-1），
令f′（x）＞0，解得：x∈（-2a-1，+∞），
∴f（x）在（-1，-2a-1）递减，在（-2a-1，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查切线方程问题，是一道中档题．