Question

10．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

①函数y=f（x）在x=2时取极小值；
②函数f（x）在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有3个零点；
④如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．
所有正确命题的序号为①④．

Answer 1

分析 由函数f（x）在x=2处的附近导数左负右正，结合极值的定义，即可判断①；
由导数与单调性的关系，即可判断②；
由f（x）的图象和y=a的交点个数，即可判断③；
由f（x）的图象，结合单调性，即可得到t的最小值，即可判断④．

解答 解：由导数的图象可得，函数f（x）在x=2处的附近导数左负右正，
即为极小值点，则f（2）取得极小值，故①正确；
由导数的图象可得，f（x）在（0，2）导数为负的，
则f（x）在（0，2）递减，故②错；
由导数的图象可得f（x）在（-1，0）递增，在（0，2）递减，
在（2，4）递增，在（4，5）递减，如图所示．
当1＜a＜2时，y=f（x）的图象与y=a有四个交点，
函数y=f（x）-a有4个零点，故③错；
如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，
由f（x）的图象可得t的最小值为0，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数方程的转化思想和数形结合的思想方法，考查判断能力和观察能力，属于中档题．