Question

如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，AB⊥AF₂.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)D是过A，B，F₂三点的圆上的点，D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

Answer 1

解：(1)设B(x_0,0)，由F₂(c,0)，A(0，b)，

知＝(c，－b)，＝(x₀，－b)

∵，∴cx₀＋b²＝0，x₀＝－，

由知F₁为BF₂中点，故－＋c＝－2c

∴b²＝3c²＝a²－c²，即a²＝4c²，故椭圆C的离心率e＝

(2)由(1)知＝，得c＝a，于是

△ABF的外接圆圆心为F₁，半径r＝a，

D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于2a，所以圆心到直线的距离为a，

所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.