Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．
（1）求证：B、E、F、N四点共圆；
（2）求证：AC²+BF•BM=AB²．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：选作题,立体几何

分析：（1）连结BN，证明∠BEF+∠BNF=180°，即可证明B、E、F、N四点共圆；
（2）由直角三角形的射影原理可知AC²=AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：

BF

BA

=

BE

BM

，即可得出结论．

解答： 证明：（1）连结BN，则AN⊥BN，
又CD⊥AB，
则∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，
则B、E、F、N四点共圆．…（5分）
（2）由直角三角形的射影原理可知AC²=AE•AB，
由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：

BF

BA

=

BE

BM

，
∴BF•BM=BA•BE=BA•（BA-EA），
∴BF•BM=AB²-AB•AE，
∴BF•BM=AB²-AC²，即AC²+BF•BM=AB²．…（10分）

点评：本题考查四点共圆，考查三角形相似，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．