Question

点P在圆x²+y²=4上运动，作PD⊥x轴于D，延长DP至M，是

DP

=2

PM

，求点M的轨迹方程，并说明轨迹形状．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意设出M，P，D的坐标，由

DP

=2

PM

把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案．

解答： 解：如图，设M（x₀，y₀），P（x₀，y₁），
则D（x₀，0），

DP

=(0，y1)，

PM

=(0，y0-y1)，
由

DP

=2

PM

，得（0，y₁）=2（0，y₀-y₁），
∴y₁=2y₀-2y₁，y1=

2

3

y0，
把P（x₀，y₁）代入x²+y²=4，得x02+

4

9

y02=4，
即

x02

4

+

y02

9

=1．
∴点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

9

=1．
为焦点在y轴上的椭圆．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题．