Question

7．已知函数$y=\sqrt{3}sin2x-cos2x$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{4}）$的值；
（Ⅱ）求f （x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当$x∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{12}]$时，求f （x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代值计算可得；
（Ⅱ）由三角函数公式化简可得y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$可得；
（Ⅲ）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{5π}{12}$可得$\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，可得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，由不等式的性质可得函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x，∴$f（\frac{π}{4}）$=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）$y=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）$
=$2（sin2xcos\frac{π}{6}-cos2xsin\frac{π}{6}）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$
当$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$时，函数单调递增，
解得函数的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$；
（Ⅲ）∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{5π}{12}$，∴$\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
又$sin\frac{π}{3}=sin\frac{2π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$\sqrt{3}≤2sin（2x-\frac{π}{6}）≤2$，故函数的值域为[$\sqrt{3}$，2]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和值域，属基础题．