Question

15．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=4，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}+2}$，b_n=a_n-1（n∈N^*）．
（1）判断并证明数列{a_n}的单调性；
（2）是否存在常数λ，使得b₁b₂b₃…b_n＜λ？若存在，求λ的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=4，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}+2}$，求得a₂，a₃，且可知a_n＞0．再由a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，两边平方，将n换成n+1，两式作差可得a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．由a₂-a₁的符号，易知，a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，可知数列{a_n}单调递减；
（2）由a_n²=a_n-1+2，可得（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，即有a_n-1=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n}+1}$，即b_n=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n}+1}$，求得b₁b₂b₃…b_n＜5，即可判断存在实数λ．

解答 解：（1）数列{a_n}单调递减．
理由如下：由a₁=4，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，
得a₂=$\sqrt{6}$，a₃=$\sqrt{\sqrt{6}+2}$，且可知a_n＞0．
由a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，
得a_n²=a_n-1+2①，
则有a_n+1²=a_n+2②，
由②-①得：a_n+1²-a_n²=a_n-a_n-1，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．
由a₂-a₁=$\sqrt{6}$-4＜0，
易知a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，
可知数列{a_n}单调递减；
（2）∵a_n²=a_n-1+2，
∴（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，
∴a_n-1=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n}+1}$，即b_n=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n}+1}$，
则b₁b₂b₃…b_n=3•$\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{2}+1}$•$\frac{{a}_{2}+1}{{a}_{3}+1}$…$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n}+1}$
=$\frac{15}{{a}_{n}+1}$．
由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，
易知，a_n-2与a_n-1-2同号，
由于a₁-2=4-2＞0，可知，a_n-2＞0，即a_n＞2，
则$\frac{15}{{a}_{n}+1}$＜5，
故存在常数λ，且λ≥5，
对任意n≥2，有b₁b₂b₃…b_n＜λ成立．

点评 本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，训练了放缩法证明数列不等式，属中档题．