Question

已知圆，是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解析：法1.假设存在斜率为的直线，满足题意，则OA⊥OB.

设直线的方程是，其与圆的交点，的坐标分别为，

则，[   即.                      ①           

由消去得，，

∴，，                      ②

．                   ③

把②③式代入①式，得，解得或，

而或都使得成立．

故存在直线满足题意，其方程为或

法2. 圆C化成标准方程为， 半径

假设存在以为直径的圆的圆心为，

则直线的方程是，即，则

，，即     ①

且     ，

∵以为直径的圆过原点，∴ ，

所以              ②

把①代入②得，，∴或，

当或时，，此时直线的方程为；

当时，，此时直线的方程为；
故这样的直线是存在的，方程为或