Question

7．定义函数f（x）=＜x•＜x＞＞，其中＜x＞表示不小于x的最小整数，如＜1.3＞=2，＜-2.1＞=-2，当x∈（0，n]（n∈N^*）时，函数f（x）的值域为A_n，记集合A_n中的元素的个数为a_n，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=$\frac{2015}{1008}$．

Answer 1

分析 根据{x}的定义，f（x）={x•{x}}，依次求出数列{a_n}的前5项，再归纳出a_n=a_n-1+n，利用累加法求出a_n，再利用裂项相消法求出值．

解答 解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A₁={1}，a₁=1；
当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A₂={1，3，4}，a₂=3；
当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，所以A₃={1，3，4，7，8，9}，a₃=6；
当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以A₄={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a₄=10；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，
所以A₅={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a₅=15，
由此类推：a_n=a_n-1+n，所以a_n-a_n-1=n，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1个式子相加得，a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
解得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，所以$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）]$
=2$（1-\frac{1}{2016}）$
=$\frac{2015}{1008}$．
故答案为：$\frac{2015}{1008}$．

点评 本题考查了新定义、递推关系、“累加求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．