Question

数列{

1

(2n-1)(2n+1)

}的前n项和是S_n=

 

，使S_n＜T恒成立的最小正整数T是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由于

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”可得S_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答： 解：

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{

1

(2n-1)(2n+1)

}的前n项和是S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵数列{1-

1

2n+1

}是单调递增数列，
∴S_n＜

1

2

×1，
因此使S_n＜T恒成立的最小正整数T是1．
故答案分别为：

n

2n+1

，1．

点评：本题考查了“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．