Question

15．若数列{a_n}满足前n项之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n且b₁=2．求：
（1）{b_n} 的通项公式；
（2）{b_n} 的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4，则a₁=4，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），则a_n=2a_n-1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，数列{a_n}是以4为首项，以2为公比的等比数列，a_n=4×2ⁿ=2ⁿ⁺¹，b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n，$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1，数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，b_n=n•2ⁿ（n∈N*）；
（2）由（1）可知：b_n=n•2ⁿ（n∈N*），采用“错位相减法”即可求得{b_n} 的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4，则a₁=4，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-4，
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），即a_n=2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=4×2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
由b_n+1=a_n+2b_n，即b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
又$\frac{{b}_{1}}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）•1=n，
∴b_n=n•2ⁿ（n∈N*）；
（2）由（1）可知：T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ
则2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减得：-T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*），
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴{b_n} 的前n项和T_n，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，（n∈N^*）．

点评 本题考查等差数列前n项和公式，考查等比数列与等差数列的综合应用，考查“错位相减法”求数列的前n项和的应用，考查计算能力，属于中档题．