Question

3．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}；②M={（x，y）|y=sinx}；③M={（x，y）|y=e^x-2}；
④M={（x，y）|y=lgx}．
其中所有“理想集合”的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义．

解答 解：对于①y=$\frac{1}{x}$是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不满足理想集合的定义，不是理想集合．
对于②M={（x，y）|y=sinx}，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，都能在图象上找到满足题意的点，
所以集合M是理想集合；

对于③M={（x，y）|y=e^x-2}，如图在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），满足理想集合的定义，所以正确．

对于④M={（x，y）|y=lgx}，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是理想集合．

故选B．

点评 本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．