Question

【题目】已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= ．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（|2x﹣1|）+k ﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，

故 ，

即 ，

解得

（2）解：由已知可得f（x）=x+ ﹣2，

所以，不等式f（2x）﹣k2x≥0可化为 2x+ ﹣2≥k2x，

可化为 1+（ ）2﹣2 ≥k，令t= ，则 k≤t2﹣2t+1．

因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[ ，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ，2]上恒成立．

记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[ ，2]，故 h（t）min=h（1）=0，

所以k的取值范围是（﹣∞，0]

（3）解：方程f（|2x﹣1|）+k ﹣3k=0可化为：

|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，

令|2x﹣1|=t，则方程化为

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），

∵方程f（|2k﹣1|）+k ﹣3k=0有三个不同的实数解，

∴由t=|2x﹣1|的图象知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，

且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．

记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），

则 ，或

∴k＞0．

【解析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 ，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为 2x+ ﹣2≥k2x ， 故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[ ，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2x﹣1|）+k ﹣3k=0|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．
【考点精析】关于本题考查的函数的零点与方程根的关系，需要了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点才能得出正确答案．