Question

17．如图，G是△ABC的重心，过G的直线与边AB，AC分别相交于点E，F，若AE=mAB，AF=nAC（mn≠0），求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的值．

Answer 1

分析 由E，G，F三点共线，从而有向量共线，由两个向量共线定理找到向量的等式，再由三角形法则转化为用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表达，即可找出m，n的关系．

解答 解：∵E，G，F三点共线，
∴$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AE}$+（1-x）$\overrightarrow{AF}$，
即$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=xm$\overrightarrow{AB}$+（1-x）n$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=xm$\overrightarrow{AB}$+（1-x）n$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xm=\frac{1}{3}}\\{（1-x）n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{1}{3m}$，1-x=$\frac{1}{3n}$，
∴$\frac{1}{3m}$+$\frac{1}{3n}$=1，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

点评 本题考查三点共线、向量共线的条件、向量的三角形法则和向量的表示等知识．抓住E、G、F三点共线，转化为向量共线是解决本题的关键．