Question

已知数列的前n项和与通项满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求；
（3）若，求的前n项和.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）条件中是前项和与第项之间的关系，考虑到当时，，因此可得，又由，从而可以证明数列是以为首项，为公比的等比数列，∴通项公式；（2）由（1）结合，可得，
从而，因此考虑采用裂项相消法求的前项和，即有；（3）由（2）及，可得，因此可看作是一个等比数列与一个等差数列的积，可以考虑采用错位相减法求其前项和，即有①，
②，
①-②：，
从而.
（1）在中，令，可得..............2分
当时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴；      4分
由（1）及，∴，
∴，故，..............6分
又∵，......   9分
∴                                 10分
（3）由（2）及，∴，           12分
∴①，
①可得：②，
①-②：，
∴，                16分