Question

9．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{λ+1}+\frac{y^2}{λ}=1\;（0＜λ＜1）$在左、右焦点，直线AB经过F₂交椭圆于A、B两点（A点在x轴上方），连结AF₁、BF₁．
（1）求椭圆的焦点坐标和△ABF₁周长；
（2）求△ABF₁面积的最大值（用λ表示）．

Answer 1

分析 （1）利用c=$\sqrt{λ+1-λ}$，可得焦点．由椭圆的定义可得：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，即可得出．
（2）设直线AB的方程为：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（λm²+λ+1）y²+2λmy-λ²=0，利用根与系数的关系可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得△ABF₁面积S=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|，化简利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{x^2}{λ+1}+\frac{y^2}{λ}=1\;（0＜λ＜1）$，可得c=$\sqrt{λ+1-λ}$=1，可得焦点（±1，0）．
由椭圆的定义可得：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=2$\sqrt{λ+1}$．
∴△ABF₁周长=4$\sqrt{λ+1}$．
（2）设直线AB的方程为：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{λ+1}+\frac{{y}^{2}}{λ}=1}\end{array}\right.$，化为：（λm²+λ+1）y²+2λmy-λ²=0，
△＞0，y₁+y₂=$\frac{-2λm}{λ{m}^{2}+λ+1}$，y₁y₂=$\frac{-{λ}^{2}}{λ{m}^{2}+λ+1}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2λ\sqrt{λ{m}^{2}+λ+{m}^{2}+1}}{λ{m}^{2}+λ+1}$．
∴△ABF₁面积S=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|=$\frac{2λ\sqrt{λ{m}^{2}+λ+{m}^{2}+1}}{λ{m}^{2}+λ+1}$=$\frac{2λ\sqrt{λ+1}}{\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}+λ\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\frac{2λ\sqrt{λ+1}}{2\sqrt{λ}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+λ}$．当且仅当m=0时取等号．
∴△ABF₁面积的最大值为$\sqrt{{λ}^{2}+λ}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．