Question

12．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2（x＜0）}\\{\sqrt{x}（x≥0）}\end{array}\right.$，若对任意n∈N^*，f（f（f…f（a）））=a（n个f），则实数a的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①假设f（a）=a，当a≥0时，则$\sqrt{a}$=a，解得a=1或0；当a＜0时，则a²+4a+2=a，解得a=-1或-2．
②假设f（f（a））=a，对a分类讨论，以此类推即可得出．

解答 解：①假设f（a）=a，当a≥0时，则$\sqrt{a}$=a，解得a=1或0；当a＜0时，则a²+4a+2=a，解得a=-1或-2．
②假设f（f（a））=a，当a≥0时，则f（a）=$\sqrt{a}$，f（f（a））=f（$\sqrt{a}$）=$\sqrt{\sqrt{a}}$，∴$\sqrt{\sqrt{a}}$=a，解得a=1或0；以此类推：当a≥0时，a=1或0．
当a＜0时，则f（a）=a²+4a+2，f（f（a））=（a²+4a+2）²+4（a²+4a+2）+2=a，∴a²+4a+2=a，解得a=-1或-2．以此类推：当a＜0时，
a=-1或-2．
综上可得：实数a的个数是4．
故选：C．

点评 本题考查了一元二次方程的解法、复合函数的性质的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．