Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，且不等式f（x）＞0的解为1＜x＜3．
（1）证明：二次函数f（x）图象向下平移|a|个单位顶点在x轴上；
（2）若函数f（x）-2x的最大值为正数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数与二次不等式的关系可知f（x）开口向下，对称轴为x=2，且f（1）=0．用a表示出b，c，代入f（x）的顶点纵坐标证明f_max（x）=|a|即可．
（2）根据（1）中a，b，c的关系求出g（x）=f（x）-2x的最大值，令g_max（x）＞0解出．

解答 解：（1）∵不等式f（x）＞0的解为1＜x＜3，
∴a＜0，f（1）=f（3）=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=2}\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=3a}\end{array}\right.$．
∴f_max（x）=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{12{a}^{2}-16{a}^{2}}{4a}$=-a=|a|．
∴二次函数f（x）图象向下平移|a|个单位顶点在x轴上．
（2）令g（x）=f（x）-2x=ax²+（b-2）x+c．
∴g_max（x）=$\frac{4ac-（b-2）^{2}}{4a}$=$\frac{12{a}^{2}-（4a+2）^{2}}{4a}$=$\frac{-{a}^{2}-4a-1}{a}$＞0．
∵a＜0，∴a²+4a+1＞0，解得a＜-2-$\sqrt{3}$或a＞-2+$\sqrt{3}$．
∴a的取值范围是（-∞，-2-$\sqrt{3}$）∪（-2+$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查了二次函数与二次不等式的关系，二次函数的最值，属于中档题．