Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与圆C₂：x²+y²=b²，若椭圆C₁上存在点P，使得由点P所作的圆C₂的两条切线互相垂直，则椭圆C₁的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．

解答： 解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，
∵∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°，
在直角三角形OAP中，cos∠AOP=

b

|OP|

=

2

2

，
∴|OP|=

2

b，
∴b＜|OP|≤a，
∴

2

b≤a，
∴2b²≤a²，即2（a²-c²）≤a²，
∴a²≤2c²，
∴e≥

2

2

，又0＜e＜1，
∴

2

2

≤e＜1，
∴椭圆C的离心率的取值范围是[

2

2

，1）．
故答案为：[

2

2

，1）．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于中档题．