Question

已知，当x∈[-2，1]时，不等式mx³≥x²-4x-3恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：分x=0、x＞0、x＜0讨论，当x＞0和x＜0时分离参数m，然后利用导数求最值，分别得到m的范围，最后取并得答案．

解答： 解：当x=0时，不等式mx³≥x²-4x-3化为0≥-3恒成立．
当x＞0时，不等式mx³≥x²-4x-3恒成立化为m≥

x2-4x-3

x3

．
令f（x）=

x2-4x-3

x3

，
f′(x)=

-x2+8x+9

x4

=

-(x-4)2+25

x4

．
当x∈（0，1]时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，要使m≥

x2-4x-3

x3

成立，
则m≥f(x)max=f(1)=

1-4-3

1

=-6．
当x＜0时，
即x∈[-2，0），
不等式mx³≥x²-4x-3恒成立化为m≤

x2-4x-3

x3

．
令g（x）=

x2-4x-3

x3

，
g′（x）=

-(x-4)2+25

x4

．
当x=-1时，g′（x）=0，
x∈[-2，-1）时，g′（x）＜0，
x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，
即x=-1为g（x）的极小值点，
∴m≤g(x)min=g(-1)=

1+4-3

-1

=-2．
综上，-6≤m≤-2．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是压轴题．