Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=n²•cos

2nπ

3

（n∈N^*），其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n的表达式；
（Ⅱ）若b_n=

S3n

n•2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=

1

4S23n+1-1

，令f（n）=c₁+c₂+…+c_n，求f（n）的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n=n²•cos

2nπ

3

（n∈N^*），求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n的表达式；
（Ⅱ）b_n=

S3n

n•2n-1

=

9n+4

2n

，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）利用裂项法求和，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n=n²•cos

2nπ

3

（n∈N^*），
∴a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-

(3n-2)2

2

-

(3n-1)2

2

+9n²=

18n-5

2

，
∴S_3n=

13

2

n+

n(n-1)

2

•

18

2

=

n(9n+4)

2

；
（Ⅱ）b_n=

S3n

n•2n-1

=

9n+4

2n

，
∴T_n=

13

2

+

22

22

+…+

9n+4

2n

，
∴

1

2

T_n=

13

22

+

22

23

+…+

9n+4

2n+1

，
两式相减可得T_n=22-

9n+22

2n

；
（Ⅲ）S_3n+1=-

2n+1

2

，c_n=

1

4S23n+1-1

=

1

4n(n+1)

，
∴f（n）=c₁+c₂+…+c_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

），
∴

1

8

≤f（n）＜

1

4

．

点评：本题考查数列的求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．