Question

3．已知实数x，y满足$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，则u=|3x+3y-7|的取值范围为[1，13]．

Answer 1

分析 令t=3x+3y-7，与椭圆方程联立，由判别式等于0求得t的范围，则u=|3x+3y-7|的取值范围可求．

解答 解：令t=3x+3y-7，即$y=-x+\frac{t}{3}+\frac{7}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=-x+\frac{t}{3}+\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，得12x²-6（t+7）x+t²+14t+40=0．
由△=36（t+7）²-48（t²+14t+40）=0，
得t²-14t+13=0，即t=1或t=13．
∴u=|3x+3y-7|的取值范围为[1，13]．
故答案为：[1，13]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆位置关系的应用，是中档题．