Question

7．已知某商品的价格x（元）与需求量y（件）之间的关系有如下一组数据：

x	14	16	18	20	22
y	12	10	7	5	3

（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（2）求出回归直线方程
（3）计算相关系数r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．
（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{{\sum{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$，$r=\frac{{\sum{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum{{{（{x_i}-\overline x）}^2}•\sum{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}}$）
参考数据：$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=40，\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=620，\sum_{i=1}^5{（y_i^{\;}}-\overline y{）^2}=53.2，\sqrt{133}≈11.53$
当n-2=3，r_0.05=0.878．

Answer 1

分析 （1）由平均数公式计算x，y的平均值即可；
（2）结合回归方程系数公式和（1）的结论求解回归方程即可；
（3）利用相关系数的计算公式求得相关系数即可比较拟合效果的好坏．

解答 解：（1）由题意可得：$\overline{x}=\frac{14+16+18+20+22}{5}=18$，$\overline{y}=\frac{12+10+7+5+3}{5}=7.4$．
（2）结合题意和（1）的结论有：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}=1660，\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=620$，则：

$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}=\frac{620-5×18×7.4}{1660-5×{18}^{2}}=-1.15$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}=28.1$，
回归方程为：$\hat{y}=-1.15x+28.1$．
（3）由题意可得：$r=\frac{\sum_{u=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{5}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}\sum_{i=1}^{5}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}}=0.994＞0.878$，
∴回归模型拟合效果很好．

点评 本题考查了线性回归方程的实际应用，线性回归方程的性质，相关系数的概念等，重点考查学生的计算能力和对基础概念的理解，属于中等题．