Question

【题目】已知，函数（是自然对数的底数）

(1)求函数的单调区间;

(2)若函数在区间内无零点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）求出函数求其导函数，可知当时函数在区间上单调递减，可得，函数在区间上无零点；当时，分和分类讨论，即可筛选出函数在区间内无零点的的范围.

详解：（1）∵

∴

当时，在上恒成立，增区间为，无减区间；

当时，令得

的增区间为，减区间为.

（2）函数 ，

∴

①当时，在上恒成立，函数在区间上单调递减，

则，

∴时，函数在区间上无零点；

②当时，令得，

令，得，令，得，

因此，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（i）当，即时，

函数的单调递减区间是，∴

要使函数在区间内无零点，则，得；

（ii）当，即时，

函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

∴

设

∴

∴在上单调递减，

∴ ，

而当时，，

∴函数在区间内有零点，不合题意.

综上，要使函数在区间内无零点，则的最大值为