Question

15．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线$M：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$．

Answer 1

分析 根据题意，求出A、B、C、D四点的坐标，分析可得c=6，由双曲线的定义可得2a=||AC|-|CB||=13-5=8，即a=4，由双曲线的性质可得b的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案．

解答 解：根据题意，分析可得A：（-6，0），B（6，0），D（-6，5），C（6，5），则|AC|=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
若双曲线的焦点为A、B，则c=6，
又由双曲线恰好过C、D两点，则2a=||AC|-|CB||=13-5=8，即a=4，
又由c=6，则b²=a²-c²=20；
则双曲线的方程为：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$；
故答案为：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义，分析得到a、c的值．