Question

9．斜率为2的直线l与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由椭圆的焦点坐标，则两个交点分别为（-c，-2c），（c，2c），代入椭圆方程，根据椭圆的性质及离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：椭圆的焦点在x轴上，F₁（-c，0），F₂（c，0），则两个交点分别为（-c，-2c），（c，2c），
代入椭圆$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，整理得：c²（b²+4a²）=a²b²
∵b²=a²-c²，整理得：c⁴-6a²c²+a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，整理得：e⁴-6e²+1=0，解得：e²=3±2$\sqrt{2}$，
∵0＜e＜1，则e²=3-2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$-1）²，
∴e=$\sqrt{2}$-1，
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．