Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数）与C交于M，N两点．
（1）求曲线C和直线l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入ρsin²θ=2acosθ，由

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去参数t可得所求；（2）将

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

代入y²=2ax并整理可得t得二次方程，由韦达定理可得t₁+t₂和t₁•t₂的值，由等比中项可得|MN|²=|PM|•|PN|，整体代入可得a得方程，解方程可得．

解答： 解：（1）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入ρsin²θ=2acosθ（a＞0）得y²=2ax，（a＞0），
由l：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去参数t可得x-y-2=0，
∴曲线C和直线l的普通方程分别是y²=2ax，（a＞0），x-y-2=0；
（2）将

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

代入y²=2ax并整理可得t²-2

2

（4+a）t+8（4+a）=0，
由韦达定理可得t₁+t₂=2

2

（4+a），t₁•t₂=8（4+a），
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|MN|²=|PM|•|PN|，
∴（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=t₁•t₂，
∴8（4+a）²-4×8（4+a）=8（4+a），解得a=1

点评：本题考查直线的参数方程和极坐标方程，属基础题．