Question

15．已知O为坐标原点，过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作出对应的图象，求出交点坐标，结合平行四边形的面积建立方程关系求出a的值进行求解即可．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±ax，（不妨设a＞0），
设与y=-ax平行且过P的直线方程为y=-a（x-1）=-ax+a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=-ax+a}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$a）
则平行四边形OBPA的面积S=2S_△OBP=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$a=1，得a=2，
即双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
则双曲线的a₁=1，b₁=2，
则c=$\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即双曲线的离心率e=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查双曲线离心率的求解，根据条件求出交点坐标，结合平行四边形的面积进行求解是解决本题的关键．