Question

【题目】已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若恒成立，求的取值范围；

(3)设函数的极值点为，当变化时，点(，)构成曲线M.证明:任意过原点的直线，与曲线M均仅有一个公共点.

Answer 1

【答案】(1) 的极大值为，无极小值；(2) ；(3) 证明见解析.

【解析】

（1）对函数求导，求出单调区间，即可求出极值；

（2）恒成立，两种解法：①分离参数，构造新函数，转化为与新函数的最值关系；②转化为，对分类讨论求出，转化为解关于的不等式；

（3）先确定出点(，)构成曲线M，直线与曲线M均仅有一个公共点转化为函数的零点，对分类讨论，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可得证.

(1)当时，，

则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以当时，的极大值为，无极小值；

(2)(法一)∵，

∴由恒成立，得恒成立，

令则，

令，则，

∵，故

∴在在(0，+∞)单增，又，

∴，，，

即，，，，

∴，单减，)，单增，

∴时，取极小值即最小值，

∴；

法二：

由二次函数性质可知，存在，使得，

即，且当时，，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

∴，

由题意可知，，

设，则，即单调递增.

∴的解集为(0，1]，即，

∴；

(3)由(2)可知，

则曲线M的方程为，

由题意可知.对任意，

证明：方程均有唯一解，

设，

则

①当时，恒成立，

所以在上单调递增，

∵，

所以存在满足时，使得，

又因为单调递增.所以为唯一解；

②当且，即时，

恒成立，所以在上单调递增，

∵，，

∴存在使得，

又∵单调递增，所以为唯一解；

③当时，有两解，不妨设，

因为，所以，列表如下:

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

由表可知，当时，

的极大值为，

∵，所以.

∴，

∴存在，使得，

又因为单调递增，所以为唯一解:

综上，原命题得证.