Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过点Q（2，1）的直线l′交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线相交于点A．分别与y轴交于点B，C．

（ i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标 ；

（ ii）求的外接圆面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

（1）根据F（2，0），P（﹣2，t）得FP的中点为（0，），，讨论t的值，当t≠0时，求出线段FP的中垂线l，代入抛物线方程y2＝2px，即可求解.

（2）设过点Q（2，1）的直线l′的方程为x﹣2＝m（y﹣1），代入抛物线的方程y2＝8x，

求出y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，对y2＝8x两边求导得2yy′＝8，即y′，求出处的切线方程，再求出，设出外接圆的方程即可求出定点；由上一问可求出半径，配方求半径的最小值即可求解.

（1）F（2，0），P（﹣2，t），可得FP的中点为（0，），

当t＝0时，FP的中点为原点，

当t≠0时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为，

可得中垂线l的方程为yx，代入抛物线方程y2＝2px，

可得x2+（4﹣2p）x0，

由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p）2﹣16＝0，解得p＝4，

则抛物线的方程为y2＝8x；

（2）（i）证明：可设过点Q（2，1）的直线l′的方程为x﹣2＝m（y﹣1），即x＝my+2﹣m，

代入抛物线的方程y2＝8x，可得y2﹣8my﹣16+8m＝0，

设M（，y1），N（，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，

由y2＝8x，两边对x求导可得2yy′＝8，即y′，

可得M处的切线方程为y﹣y1（x），化为y1y＝4x，①

同理可得N处的切线方程为y2y＝4x，②

由①②可得y4m，xm﹣2，即A（m﹣2，4m），

又l1，l2分别与y轴交于点B（0，），C（0，），

设过A，B，C的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2﹣4F＞0），

即有

结合y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，可得D＝﹣m﹣2，E＝﹣4m，F＝4m﹣8，

可得△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣（m+2）x﹣4my+4m﹣8＝0，

可得m（4﹣x﹣4y）+（x2+y2﹣2x﹣8）＝0，

由可得或，

则当l′变化时，△ABC的外接圆过定点（4，0）和（，）；

（ii）△ABC的外接圆的半径

r，

可得当m时，r的最小值为，

则△ABC的外接圆面积的最小值为π．