Question

【题目】如图1，在矩形PABC中，AB＝2BC＝4，D为PC的中点，以AD为折痕将△PAD折起，折到如图2的位置，使得PB＝2．

（1）求证：AP⊥平面PBD

（2）求平面PCD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）通过计算可以发现AP2+BP2＝AB2，则AP⊥BP，进而容易得证；

（2）解题的关键是证明平面ABD⊥平面APD，进而可得OP⊥平面ABD，从而建立空间直角坐标系O﹣xyz，由此得解．

（1）由于在矩形PABC中，AB＝2BC＝4，D为PC的中点，以AD为折痕将△PAD折起，折到如图2的位置，使得PB＝2，所以，

由于AP2+BP2＝AB2，所以AP⊥BP，

又AP⊥PD，BP∩PD＝D，且BP，PD都在平面PBD中，

所以AP⊥平面PBD．

（2）取AD的中点O，则AO＝OD＝OP，，连接PO，BD，则，

∵AB＝4，∴AB2＝AD2+BD2，即AD⊥BD，

又由（1）知，BD⊥AP，∴BD⊥平面APD，∴平面ABD⊥平面APD，

显然，OP⊥AD，OP⊥平面ABD，

过点O作直线OM∥BD，则OM⊥AD，故建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，

则，，

设平面PCD的法向量为，

则，即，令y＝z＝1，则x＝﹣1，故，

设平面PBC的法向量为，

则，即，令x＝y＝1，则z＝3，故，

∴，

∴平面PCD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．