Question

【题目】将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得曲线C.

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程；

（Ⅱ）设直线与曲线C的交点为、，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根据变换前后坐标的对应关系，利用代入法，求得曲线的直角坐标方程，进而求得其参数方程.

（II）联立直线和曲线的直角坐标方程，求得交点的坐标，由此求得线段中点坐标，结合所求直线的斜率，求得其直角坐标方程，再转化为极坐标方程.

（Ⅰ）设圆上的一点，在已知变换下变为点，依题意，得

由得

即曲线C的方程为，

所以曲线C的参数方程为（为参数）

（Ⅱ）由，解得或

不妨设，，则线段的中点坐标为，

所求直线斜率，所以所求直线方程为

转化为极坐标方程为，即