Question

设x∈R的函数f（x）=

|x-4|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

，若函数g（x）=f²（x）-（2m+1）•f（x）+m²有7个零点，则实数m的值为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：作出函数f（x）的图象，根据g（x）的零点个数分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：作出函数的图象如图：
∵题中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数根结合函数f（x）的图象可得，
令t=f（x），则关于t的方程t²-（2m+1）t+m²=0有一根为t=4，另一个根大于0且小于4．
把t=4代入方程t²-（2m+1）t+m²=0求得m=2或m=6．
当m=2时，t=1或t=4即f（x）=1或f（x）=4，
得到f（x）=1有4个不同实根，
f（x）=4有3个不同实根，符合题意
∴m=2
当m=6时，t=4或t=9即f（x）=4或f（x）=9，
f（x）=4有3个不同实根，
f（x）=9有2个不同实根，不符合题意；
故答案为：2

点评：本题考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于一道难题．